Програма Pre MSc Foundation з прикладної математики

Основна програма підготовки до магістратури (PMFP) з прикладної математики спрямована на узгодження портфоліо компетенцій майбутніх студентів двох магістерських програм з математичного моделювання та математичної інженерії в University Of L'Aquila , які включають програму Erasmus Mundus «InterMaths – Міждисциплінарна математика». , спільна магістерська програма «MathMods», та програма подвійних дипломів «InterMaths».

Залежно від програм бакалаврату студента та системи освіти в країні походження, студенти, які навчаються за цими трьома програмами, можуть мати дуже різноманітний набір навичок з дисциплін, які характеризують ці магістерські програми. PMFP з прикладної математики розроблено для вирішення цієї проблеми, охоплюючи конкретні компетенції як з теоретичної математики (реальний аналіз і лінійна алгебра), так і з комп’ютерного програмування. Що стосується теоретичної математики, то головною метою PMFP є подолання розриву між «обчисленням» і «реальним аналізом», типовою проблемою, яка досить часто виникає у майбутніх студентів магістра з дуже «прикладним» досвідом.

PMFM включатиме дуже основні теми реального аналізу, що дозволить студентам мати справу з обчисленням нескінченно малих з точки зору суворого «реального аналізу» (включаючи використання строгих математичних доказів). З іншого боку, студентам із сильним «теоретичним» досвідом іноді бракує базових навичок програмування та обчислень. Таким чином, PMFP забезпечує базовий вступ до комп’ютерного програмування і, зокрема, до обчислювального середовища «MATLAB», яке широко використовується в курсах чисельного аналізу програм MSc, згаданих вище.

Модулі

Частина 1

• Прискорений курс з лінійної алгебри

Лінійні простори, лінійна залежність, основи лінійного простору, розмірність лінійного простору, лінійні підпростори.

Матриці, основні операції з матрицями, зміна координат, визначники, ранг. Короткий звіт про лінійні системи та виключення Гаусса.

Діагоналізація квадратних матриць, власних значень, власних векторів. Внутрішній добуток, дволінійні форми та квадратичні форми.

• Диференціальні рівняння: основи

Загальне введення в диференціальні рівняння, задачі Коші.

Наявність та унікальність рішень. Теореми Пеано та Коші. Приклад, пензлик Пеано.

Ознайомлення з лінійними диференціальними рівняннями. Приклади.

Короткий опис якісного аналізу задач Коші. Порівняння рішень, максимальні рішення, глобальне існування рішень, роздування рішень. Приклади.

• Реальний аналіз: основи

Логіка пропозицій. Пропозиційне числення.

Множини, множинні операції, відношення, функції. Мощність множин, зліченних множин, незліченних множин. Елементарні набори чисел. Цілі й раціональні числа. Принцип індукції.

Детальніше про функції: ін’єктивні та сюръективні функції, оборотні функції, зображення та попереднє зображення.

Множина дійсних чисел. Аксіома поділу, розрізи Дедекінда. Infimum і supremum. Архімедова власність. Комплексні числа: декартова і тригонометрична форма, основні властивості, степені, комплексні корені, фундаментальна теорема алгебри.

Послідовності дійсних чисел: монотонні послідовності, збіжність послідовності, підпослідовності, limsup і liminf послідовності, теорема Больцано-Вейєрштрасса.

Ознайомлення з функціями дійсних чисел. Елементарні функції: показникові та логарифмічні функції, тригонометричні функції, ірраціональні функції. Монотонні функції.

Топологія дійсних чисел: інтервали, півпрямі, відкриті множини, закриті множини. Топологія евклідового простору Rn: кулі, відкриті та закриті множини. Компактні множини в евклідовому просторі.

Частина 2

• Введення в MATLAB

Середовище MATLAB, Основи комп’ютерного програмування, Змінні та константи, оператори та прості обчислення, Формули та функції. Набірні інструментів MATLAB.

Огляд матриць і лінійної алгебри, вектори та матриці в MATLAB, матричні операції та функції в MATLAB.

Алгоритми та структури, скрипти та функції MATLAB (m-файли), Прості послідовні алгоритми, Керуючі структури (if...then, цикли).

Читання та запис даних, обробка файлів, персоналізовані функції, графічні функції MATLAB. Інтерактивні практичні заняття.

• Введення в програмування

Алгоритми, програми та мови програмування.

Середовище навчання мови програмування Python та Turtle Graphics. Команди та послідовності команд. Написання та виконання програми.

Певна ітерація. Процедури: визначення та виклик функцій Python. Процедури з параметрами.

Змінні та об’єкти. Основні типи даних в Python. Вирази.

Виділення, рекурсія та невизначена ітерація.

Основні структури даних в Python: кортежи, рядки, списки, словники.